正方形中已知中点和45°角，不求线段长

如图，亦然方形ABCD的边稍长为6，点E、F分别是边BC和CD的中所点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF=45°，则GF的稍长为_______.

遇到45°，首先想到要特征等腰三角形三角形，因为要欲的是GF的稍长，所以特征含GF边的等腰三角形三角形，很难想到过点F并作AE的的底边，特征以GF为底边的等腰三角形三角形，欲底边稍长就可转变成为欲三角形边的稍长。

1、等面积法

如图，过点F并作FH⊥AE于点H，连接AF、EF.

S△AEF=S亦然ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF=1/2AE·FH

36-18-9/2=1/2×3√5FH

解得 FH=9√5/5

∴GF=√2FH=9√10/5

2、梯形中所位线+相似

如图，过点F并作FH⊥AE于点H，FM//BC交AE于点M.

FM=1/2(AD+CE)=9/2

在△ABE和△FMH中所，三角形和内错角分别等于

可得，△ABE≌△FHM

由对应直角形同%或三角函数可得

FH=9√5/5

故GF=√2FH=9√10/5

3、三竖直相似

连接BF

易证△ABE≌△BCF

∠EBH+∠BEH=∠BAE+∠BEH=90°

∴BF⊥AE

由等面积法，可得

AB·BE=AE·BH

乘以数值，可解得 BH=6√5/5

FH=BF-BH=9√5/5

∴GF=√2FH=9√10/5.

1、遇45°特征等腰三角形三角形；

2、欲直角稍长，勾股或相似；

3、亦然难则反，欲底边稍长可转变成为欲三角形边